超市的促销牌上写着：“牛奶大促销！单买一瓶5元。买三瓶优惠装，共12元。现在买五瓶，立享‘买三赠一’（即付三瓶的钱，得四瓶）！” 妈妈给你20元，让你买尽可能多的牛奶。你该怎么买，才能把钱花得最值，拿到最多的牛奶呢？这看似是个简单的算术题，但其中蕴含着丰富的数学建模和优化思维。今天，我们就化身“家庭采购优化师”，用数学和编程思维来攻克它。
第一步：明确目标与约束——定义问题
首先，我们把生活问题转化为一个清晰的数学问题：
- 目标：在花费不超过20元的前提下，最大化牛奶的瓶数。
- 约束条件（购买规则）：
1. 单价：5元/瓶。
2. 套餐A（三瓶装）：12元/3瓶 → 平均4元/瓶。
3. 套餐B（买三赠一）：支付3瓶的钱（15元），获得4瓶 → 平均3.75元/瓶，但必须按4瓶为一个单位购买。
- 决策变量：设按单价购买x瓶，购买套餐A（三瓶装）y份，购买套餐B（买三赠一）z份。
第二步：数学建模——建立方程与不等式
根据目标，我们可以建立模型：
1. 总花费方程：总花费 = 5x + 12y + 15z ≤ 20 （不能超过20元）。
2. 获得总瓶数公式：总瓶数 = x + 3y + 4z。（我们的目标是最大化这个值）
3. 隐含条件：x, y, z 都是非负整数（你不能买半份套餐或半瓶牛奶）。
第三步：策略分析——比较与推理
在动手计算前，我们可以先进行逻辑推理：
- 比较单价：显然，套餐B的平均单价（3.75元）最便宜，其次是套餐A（4元），最贵是单买（5元）。所以，优先考虑购买套餐B。
- 考虑预算限制：一份套餐B要15元。20元最多能买1份（花15元），剩下5元。剩下的5元刚好可以单买1瓶（5元）。这样，总花费20元，得到牛奶：4（来自套餐B）+ 1（单买）= 5瓶。
- 检查是否更优：有没有可能不买套餐B，全部买套餐A？20元可以买1份套餐A（12元），剩下8元可以单买1瓶（5元），还剩3元浪费。得到牛奶：3+1=4瓶，少于5瓶。显然不优。
通过推理，我们得到了一个候选方案：z=1， x=1， y=0， 总瓶数5。
第四步：编程思维——暴力枚举验证
对于更复杂的情况（比如预算100元，促销规则更多），手动推理容易遗漏。这时，我们可以借助“编程思维”，系统性地枚举所有可能组合。思路如下：
1. 因为预算有限，每个变量的取值范围是有限的。例如，z（套餐B）最多只能买1份（因为15*2=30>20）。y（套餐A）最多能买1份（因为12*2=24>20，但买了1份套餐B后，y最多0份）。x（单买）在买了套餐B后，最多买1瓶。
2. 我们可以让计算机（或我们自己）列出所有可能的非负整数组合 (x, y, z)，满足 5x+12y+15z ≤ 20。
3. 对每一个有效组合，计算总瓶数，然后找出瓶数最大的那个组合。
我们人工枚举一下：
- (x=0， y=0， z=1)：花费15，得4瓶。
- (x=1， y=0， z=1)：花费20，得5瓶。（最优）
- (x=0， y=1， z=0)：花费12，得3瓶。
- (x=1， y=1， z=0)：花费17，得4瓶。
- (x=2， y=1， z=0)：花费22>20，无效。
- (x=4， y=0， z=0)：花费20，得4瓶。
… 枚举后确认，方案 (1， 0， 1) 确实是最优的，能得到5瓶。
思维升级：现实世界的优化问题
这个“牛奶问题”是一个简化版的“组合优化”问题。现实中，航空公司如何定价售票、物流公司如何规划送货路线、你如何安排考试复习时间，本质上都是这类问题：在有限资源（金钱、时间、人力）和复杂规则下，寻找最优解。
解决它们，需要：
1. 精准定义问题（目标、约束）。
2. 建立数学模型。
3. 设计寻找策略（推理、枚举、更高级的算法）。
4. 验证与调整。
现在，给你一个升级挑战：如果促销变成“满30元立减5元”，其他规则不变，你有35元，最优购买方案又是什么？运用你今天学会的四步法，去征服它吧！
